Управление банковскими ресурсами на основе теории нечетких множеств

Управление банковскими ресурсами на основе теории нечетких множеств

называются соответственно объединением и пересечением нечетких отношений А и В на множестве Х.

Для функции принадлежности получаем

Говорят, что нечеткое отношение В включает в себя нечеткое отношение А, если для нечетких множеств А и В выполнено . Для функций принадлежности этих множеств неравенство выполняется при любых . В рассмотренном выше примере отношений ( ? ) и ( >> ) нечеткое отношение содержится в отношении R, т.е. должно быть для любых чисел .

Если R - нечеткое отношение на множестве X, то нечеткое отношение R, характеризующееся функцией принадлежности

,

называется дополнением в Х отношения R.

Дополнение имеет смысл отрицания исходного отношения. Например, для нечеткого отношения R=(лучше) его дополнение R` (не лучше).

Обратное к R нечеткое отношение R-1 на множестве Х определяется следующим образом:

или с помощью функций принадлежности:

.

Важное значение в прикладных задачах имеет произведение или композиция нечетких отношений. В отличие от обычных отношений, произведение нечетких отношений можно определить различными способами. Здесь мы приведем некоторые из возможных определений этой операции. [3]

Определение 3.11.

Максиминное произведение нечетких отношений А и В на множестве Х характеризуется функцией принадлежности вида

.

В случае конечного множества Х матрица нечеткого отношения равна максиминному произведению матриц отношений А и В, т.е. получается с помощью тех же операций, что и матрица произведения обычных отношений.

Определение 3.11а.

Минимаксное произведение нечетких отношений А и В на Х определяется функцией принадлежности вида

Определение 3.11б.

Максимультипликативное произведение нечетких отношений А и В определяется функцией принадлежности

Для сравнения друг с другом введенных операций произведения приведем простой пример произведения отношений А и В на конечном множестве X, состоящем из двух элементов.

Пример.

Проекции нечетких отношений.

Выберем некоторое число y и рассмотрим множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что (рис. 3.8), т.е. множество вида .

Для фиксированного множество R(y) образовано всеми числами из интервала [0,1], не меньшими y. Объединение всех таких множеств по всем называется первой проекцией R(1) отношения R, т.е.

.

Множество R(1) обладает тем свойством, что для каждого его элемента x найдется элемент y , что (в данном примере ). [3]

Рис. 3.8. Множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что

Если аналогичным образом ввести множества вида

и взять их объединение по всем , то получим вторую проекцию R(2) отношения R:

.

Для любого элемента найдется такой элемент , что (в данном примере ).

В приведенном примере первая и вторая проекции отношения R ( ? ) совпадают со всем интервалом [0, 1], т.е. . Более общий случай иллюстрирует рис. 3.9.

Рис. 3.9. Общий случай проекции

Легко проверить, что декартово произведение представляет собой наименьшее прямоугольное множество, содержащее R.

Вернемся к нечетким отношениям. Пусть R - нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности . Для произвольного нечеткое множество R(y) представляет собой нечеткое множество элементов x множества X, связанных с выбранным y отношением R. Функция принадлежности этого множества имеет вид , где y - фиксированный элемент множества X. Например, для нечеткого отношения R=(близко к), заданного на числовой оси, множество R(y) можно понимать как нечеткое множество чисел, близких к выбранному числу y.

Объединение нечетких множеств R(y) по всем называется первой проекцией R(1) нечеткого отношения R. [3]

Согласно определению операции объединения нечетких множеств функция принадлежности имеет вид

.

Если - декартово произведение первой и второй проекций нечеткого отношения R, то . Этот факт следует из определения функции принадлежности декартова произведения нечетких множеств:

Пример.

Пусть матрица нечеткого отношения R на множестве имеет вид

Тогда функции принадлежности первой и второй проекции этого отношения таковы:

Свойства нечетких отношений.

Рефлексивность.

Нечеткое отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для любого выполнено равенство

.

В случае конечного множества X главная диагональ матрицы рефлексивного нечеткого отношения R состоит целиком из единиц. Примером рефлексивного нечеткого отношения может служить отношение "примерно равны" в множестве чисел.

Антирефлексивность.

Функция принадлежности антирефлексивного нечеткого отношения обладает свойством

при любом . Антирефлексивно, например, отношение "много больше" в множестве чисел. Ясно, что дополнение рефлексивного отношения антирефлексивно.

Симметричность.

Нечеткое отношение R на множестве X называется симметричным, если для любых выполнено равенство

.

Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного в конечном множестве, симметричная. Пример симметричного нечеткого отношения - отношение "сильно различаться по величине".

Антисимметричность.

Функция принадлежности антисимметричного нечеткого отношения обладает следующим свойством:

Это свойство можно описать и следующими двумя эквивалентными способами:

Антисимметричным, например, является нечеткое отношение "много больше".Заметим, что не всякое нерефлексивное (несимметричное) отношение является антирефлексивным (антисимметричным).

Транзитивность.

Нечеткое отношение R на множестве Х называется транзитивным, если .

Из этого определения видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения зависит от способа определения произведения нечетких отношений. Если обозначить через максиминное, минимаксное и максимультипликативное произведения отношения R само на себя, то нетрудно убедиться в том, что . Действительно, при любых выполняются неравенства

из которых и вытекают соответствующие включения. [3]

Если к слову транзитивность приписывать название соответствующей операции произведения нечетких отношений, то получаем: (минимаксная транзитивность R) => (максиминная транзитивность R) => (максимультипликативная транзитивность R). Иными словами, нечеткое отношение, обладающее свойством минимаксной транзитивности, обладает транзитивностью и двух других типов, а отношение, обладающее максимультипликативной транзитивностью, может, вообще говоря, и не быть транзитивным в двух других смыслах. [3]

Для обычного отношения, т. е. в случае, когда функция принимает лишь значения 0 и 1, максиминная и максимультипликативная транзитивности эквивалентны обычной транзитивности отношения.

Всюду ниже под транзитивностью нечеткого отношения мы будем понимать максиминную транзитивность, т. е. считать, что при любых функция принадлежности транзитивного нечеткого отношения R на множестве X удовлетворяет неравенству

.

Транзитивным, например, является рассматривавшееся ранее нечеткое отношение .

Транзитивное замыкание нечеткого отношения R определяется по аналогии с обычными отношениями:

Нетрудно проверить, что транзитивное замыкание представляет собой транзитивное нечеткое отношение и что транзитивное нечеткое отношение совпадает со своим транзитивным замыканием. [3]

4. ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ БАНКОВСКИМИ РЕСУРСАМИ В СВЕТЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

4.1 Описание проблемы

Проблема формализации банковской деятельности и управления ресурсами банка как динамической системы актуальна и является одной из ведущих проблем современности. В работе рассмотрен сравнительно новый класс задач принятия решений, полученный путем объединения идей нечеткости и методик организации банковской деятельности.

В конкретных приложениях в технике, управлении, экономике или экологии подобные проблемы могут обладать самыми различными специфическими особенностями, в связи с чем построение единой "универсальной" методики, позволяющей без адаптации решать многокритериальные задачи в различных отраслях, представляется нецелесообразным как с методической, так и практической точек зрения. [5]

В то же время анализ важнейших проблем постановки и решения многокритериальных задач, а также накопленный опыт решения этих задач в различных отраслях, позволили сделать вывод о целесообразности и методической обоснованности разработки некоторой "базовой". Такая "базовая" методика должна обеспечивать разрешение ключевых проблем, присущих всем многокритериальным задачам, независимо от конкретных приложений.

Разработка "базовой" методики требует комплексного решения сформулированных проблем, в первую очередь, адекватного учета неопределенностей нестатистического характера. Последнее, в свою очередь, ставит на повестку дня необходимость дальнейшего развития математического аппарата теории нечетких множеств исходя из практических потребностей, возникающих в ходе постановки и решений многокритериальных задач управления банковскими ресурсами. [6]

В задачах формализации функционирования банка как системы управления необходимо учитывать такие исходные положения:

Основными видами управленческих действий являются:

· привлечения ресурсов, которые имеют разные свойства;

· распределение совокупного портфеля ресурсов соответственно принятых в банка стратегических и тактических решений. [5]

Ресурсами считают все допустимые объекты финансовой деятельности, использования которых имеет разноплановый характер. Главными критериями эффективности управленческой деятельности есть, как минимум, выполнения обязательных экономических нормативов и достижение высоких текущих и глобальных оценочных показателей, которые во многом определяются на качественном уровне. Чаще всего целесообразно, а иногда и необходимо, акцентировать внимание на вопросах, обусловленных стратегической политикой банка, социальными процессами, которые происходят, то есть слабо структурированными аспектами банковской деятельности. [5]

Несмотря на разную природу ресурсов, широкую диверсификацию операций, противоречивость критериев эффективности, сложность и многообразия влияния микро- и макросреды, нестационарные динамические процессы, применяемый математический аппарат, с одной стороны, должен быть довольно простым и конструктивной относительно анализа и синтеза стратегий тактического управления, а с другого - универсальным и адекватно отображать действительность. [5]

Важной особенностью управления банковскими ресурсами являются имеющиеся факторы неопределенности, случайности, неточности. Причины неопределенности - отсутствие, неполнота (недостаточность, неадекватность), недостоверность информации. Нечеткость принятия решений обусловленная субъективностью руководства банка, неточностью выводов и интерпретации данных, сложностью и (или) разнообразием выводов. Вероятностные модели в подобных случаях могут оказаться не только неэффективными, а и вредными. Наиболее адекватным математическим аппаратом для учета всего комплекса неопределенностей есть методы теории нечетких множеств. [6]

4.2 Модели управления, основанные на теории нечетких множеств

Синтез моделей управления банковскими ресурсами на основе методов теории нечетких множеств базируется на рассмотрении конечного множества X, что состоит из ряда элементов в виде:

Одна из его подмножеств G может быть приведена в виде и характеризуется функцией :

Таким образом, понятия принадлежности получает обобщения, которые предопределяет полезные результаты, которые дают возможность учитывать многозначность и неопределенность на разных стадиях планирования и управления. [5]

Нечеткое подмножество можно четко определить.

Пусть X - множество, x - элемент множества X. Тогда нечеткое подмножество множества X определяется как множество упорядоченных пар:

,

где - характеристическая функция принадлежности, которая принимает значения в полностью упорядоченном множестве M, которое указывает степень или уровень принадлежности элемента X подмножеству . Множество M - множество принадлежности. [5]

4.3 Формальное описание ресурсов банка на основе теории нечетких множеств

Описание ресурсов предусматривает деление их на две группы:

1. ресурсы, принадлежность которых в банк не вызовет сомнений;

2. ресурсы, принадлежность которых относительная.

Если предприятие, которое взяло кредит, является многолетним партнером банка, перспективы его развития известные, то принципиально нетрудно оценить вероятность возвращения кредита. Это и будет мера принадлежности данного ресурса банка. Если же кредит предоставлен предприятию, которое только начинает свою деятельность, то есть относительно его функционирования нет никакой статистики, то степень надежности возвращения кредита, а итак и степень его принадлежности банка, будет явным образом не вероятностной характеристикой.

Ресурсы банка можно рассматривать как определенную математическую конструкцию. Есть некоторое множество X, так называемое генеральное множество. Если рассматривать совокупность {X} ее нечетких подмножеств, то фиксированный конечный набор из этой совокупности и является ресурсной базой банка. [5]

Операции с ресурсами банка формально есть операциями с нечеткими множествами:

· равенства;

· дополнения;

· включения;

· пересечения;

· объединения;

· разности;

· декартового произведения;

· выпуклой комбинации нечетких множеств;

· концентрирования и растягивания нечеткого множества.

Отсюда получается, что ресурсы банка - это конечный набор упорядоченных пар

Любую нечеткое множество можно представить в виде разложения множества в виде уравнения:

,

где,

.

С этим определением связано и понятие носителя, который задается выражением

.

Нечеткое подмножество G множества X подают в прямоугольной системе координат, в которой на оси ОХ откладывают X, а на оси ОY - множество принадлежностей М. Если X - целиком упорядоченное множество, то такой самый порядок должен сохраняться в расположении элементов на оси абсцисс.

Рис.4.1. Задание нечеткого множества

На рис.4.1. принадлежность каждого элемента изображенная его ординатой, заштрихованная часть отображает нечеткое подмножество .

Множество X определяет совокупность всех банковских ресурсов, а нечеткое множество G - подмножество ресурсов банка, необходимую, например, в случае комиссионно-посреднического обслуживания.

Операцию дополнения можно интерпретировать как недоступность ресурсов (нечетким множеством G можно представить, например, совокупность обязательных резервов коммерческого банка). [5]

Вместе с тем любая совокупность нечетких множеств

может определенной мерой характеризовать банковские ресурсы, то есть срок "принадлежности" трактуется существенным образом шире, чем "иметь". Например, за формализацией методов анализа ликвидности нечеткость описывает временные и стоимостные свойства реализации ресурсов.

Операция включения может быть интерпретирована в такой способ. Свойства ресурса A вообще не худшие (не лучшие), чем ресурса B. Операция включения наиболее наглядно иллюстрирует задача управления пассивами, когда нужно оценить необходимое количество ресурсов в данный промежуток времени. Если нечеткое множество A определяет ресурсы, израсходованные на проведение депозитных операций в некоторый период времени, а B - в один и тот же период времени, но с излишком, то на основании операции включения можно определить оптимальное количество ресурсов на данный промежуток времени. [5]

Операция нечеткой принадлежности фактически означает, что свойство одного ресурса не худшее от свойств другого; операция нечеткого дополнения инвертирует свойства (например, вместо имеющегося ресурса с низкой ликвидностью надо привлечь ресурс с высокой) и т.п..

Предположим, что рост прибыли определяется в планах на качественному равные сроками: очень маленький, маленький, сравнительно маленький, средний, небольшой, большой, сравнительно большой, очень большой. На рис. 2 приведен функции принадлежности, которые характеризуют маленький, средний и большой приросты. Видно, что кривые в принципе связанные с некоторой величиной прироста прибыли, но их форма задает степень "размытости" числовых характеристик каждого из понятий: маленький, средний и большой прирост. В этом примере функция принадлежности связанная с универсальным множеством и описывает степень нечеткости, которая укладывается в указанные выше дефиниции. Чаще функция принадлежности связанная с некоторой оценочной функцией. [5]

Рис. 4.2. Варианты нечеткого задания прироста прибыли: 1 - маленький; 2 - средний; 3 - большой прирост

На рис.4.3. приведены функции принадлежности, которые характеризуют некоторую интегральную оценку ликвидности пяты ресурсов: с маленьким, высоким, средним, не средним и не очень высоким, очень маленьким и не очень высокой степенью ликвидности. [5]

Рис.4.3.Варианты нечеткого задания ликвидности ресурсов: 1 - маленький; 2 - высокий; 3 - средний; 4 - не средний и не очень высокий; 5 - не очень маленький и не очень высокий уровень ликвидности

Предположим, что ресурсы, которые отвечают кривым 4 и 5 используются совместно:

· объединяются для общего использования в общем объеме (ликвидность не очень маленькая, не средняя и не очень высокая, что отвечает операции нечеткого сечения (рис.4, а);

· объединяются в один портфель для использования частями, без деления источников (ликвидность не средняя, не очень высокая, но может быть и маленькой, рис. 4, б, и отвечает операции нечеткого объединения).

Таким образом, управления ресурсами банка можно формально рассматривать как операции с нечетким множеством, содержание которых может быть интерпретирован любым удобным способом. В общей оценке эффективности работы банка важную роль сыграет точная оценка общего объема его ресурсов. Тогда в любой матрице (относительно свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности и неопровержимости) необходимо найти четкие подмножества, которые приближают банковские ресурсы, к нечетким подмножествам E. [5]

Рис.4.4a - Варианты нечетких операций с ликвидностью

Рис.4.4б - Варианты нечетких операций с ликвидностью

В рассмотренных примерах для повышения наглядности использована нечеткость, обусловленная субъективностью восприятия, распространенную в задачах управления в банковской сфере. Так, чем больший объем свободного средства, тем стабильнее данный банк, но и тем меньшая прибыль он получает. Наоборот, чем меньший объем свободного средства, тот менее стабильный банк, но и тем большая прибыль он получает. Поэтому каждый коммерческий банк стремится к тому, чтобы оптимизировать объем свободного средства. [5]

На практике больший интерес составляют другие виды неопределенности:

· недостаточность,

· неадекватность,

· недостоверность используемой информации как о макро- и микросреда, так и о целях банка и ограничения его деятельности. [5]

Приведенный инструментальный аппарат служит основой для разработки автоматизированных систем поддержки принятия управленческих решений. В особенности актуальной автоматизация становится в случае увеличения клиентуры, масштабной диверсификации, возрастания количества конкурентов и уровня конкурентной борьбы. Как правило, большинство задач принятия управленческих решений в банке основано на том, что и цель, и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Нечеткой целью принятия решений является нечеткое множество типа: "желательно, чтобы прибыльность данной операции была не ниже средней", "после предоставления кредита ликвидность должна быть не слишком маленькой", "приблизительно через трех недели необходимо, в границах допустимого, значительно увеличить показатель рефинансирования". Чем большая степень принадлежности альтернативы нечеткому множеству, тем выше достижения этой цели в случае выбора данной альтернативы как решения. [6]

Нечеткие ограничения или множества допустимых альтернатив также описываются нечеткими множествами типа:

· кредитная деятельность должна быть эффективной (чистый процентный спред положительный)";

· "чистая процентная маржа должна быть положительной".

Решить задачи управления банковскими ресурсами вообще означает достижения цели и соответствие ограничениям. Итак, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели есть пересечение нечетких множеств цели и ограничений. [5]

4.4 Применение теории нечетких множеств к финансовому анализу деятельности коммерческого банка

В практике финансового анализа хорошо известен ряд показателей, характеризующих отдельные стороны текущего финансового положения коммерческого банка. Сюда относятся показатели ликвидности, рентабельности, устойчивости, оборачиваемости капитала, прибыльности и т.д. По ряду показателей известны некие нормативы, характеризующие их значение положительно или отрицательно.

В Инструкции ЦБ РФ №1 "О порядке регулирования деятельности банков" записано, что "в целях обеспечения экономических условий устойчивого функционирования банковской системы Российской Федерации, защиты интересов вкладчиков и кредиторов и в соответствии с Федеральным законом России "О Центральном банке Российской Федерации (Банке России)" ЦБ РФ устанавливает обязательные экономические нормативы деятельности банков. [6]

Например, когда собственные средства банка превышают половину всех пассивов, соответствующий этой пропорции коэффициент автономии больше 1/2, и это его значение считается "хорошим" (соответственно, когда оно меньше 1/2 - "плохим"). Но в большинстве случаев показатели, оцениваемые при анализе, однозначно нормировать невозможно. Это связано со спецификой отраслей экономики, с текущими особенностями действующих предприятий, с состоянием экономической среды, в которой они работают. [7]

Тем не менее, любое заинтересованное положением банка лицо (руководитель, инвестор, кредитор, аудитор и т.д.), далее именуемое лицом, принимающим решения (ЛПР), не довольствуется простой количественной оценкой показателей. Для ЛПР важно знать, приемлемы ли полученные значения, хороши ли они, и в какой степени.

Кроме того, ЛПР стремится установить логическую связь количественных значений показателей выделенной группы с неким комплексным показателем, характеризующим финансовое состояния банка в целом. То есть ЛПР не может быть удовлетворено бинарной оценкой "хорошо - плохо", его интересуют оттенки ситуации и экономическая интерпретация этих оттеночных значений. Задача осложняется тем, что показателей много, изменяются они зачастую разнонаправлено, и поэтому ЛПР стремится "свернуть" набор всех исследуемых частных финансовых показателей в один комплексный, по значению которого и судить о степени благополучия ("живучести") фирмы. [7]

В анализе хорошо известны так называемые Z-показатели, сопряженные с вероятностью предполагаемого банкротства:

где Xi - функции показателей бухгалтерской отчетности,

Ai - веса в свертке, получаемые на основе так называемого дискриминантного анализа выборки предприятий, часть из которых обанкротилась.

Также устанавливаются пороговые нормативы Z1 и Z2:

· когда Z < Z1 , вероятность банкротства предприятия высока,

· когда Z > Z2 - вероятность банкротства низка,

· когда Z1 < Z < Z2 - состояние предприятия не определимо.

Этот метод, разработанный в 1968 году Э. Альтманом, получил широкое признание на всех континентах и продолжает широко использоваться в анализе, в том числе и в России. Но сопоставление данных, полученных для ряда стран, показывает, что веса в Z - свертке и пороговый интервал [Z1, Z2] сильно разнятся не только от страны к стране, но и от года к году в рамках одной страны.

Статистика, на которую опирается Альтман и его последователи, возможно, и репрезентативна, но она не обладает важным свойством статистической однородности выборки событий. Здесь невозможно говорить о статистической однородности событий, и, следовательно, допустимость применения вероятностных методов, самого термина "вероятность банкротства" ставится под сомнение. К тому же, при использовании методов Альтмана возникают передержки. [7]

Словом, подход Альтмана имеет право на существование, когда в наличии (или обосновываются модельно) однородность и репрезентативность событий выживания/банкротства. Но ключевым ограничением этого метода является даже не проблема качественной статистики. Дело в том, что классическая вероятность - это характеристика не отдельного объекта или события, а характеристика генеральной совокупности событий. Рассматривая отдельное предприятие, мы вероятностно описываем его отношение к полной группе. Но уникальность всякого предприятия в том, что оно может выжить и при очень слабых шансах, и, разумеется, наоборот. Единичность судьбы предприятия подталкивает исследователя присмотреться к предприятию пристальнее, расшифровать его уникальность, его специфику, а не "стричь под одну гребенку"; не искать похожести, а, напротив, диагностировать и описывать отличия.

При таком подходе статистической вероятности места нет. Исследователь интуитивно это чувствует и переносит акцент с прогнозирования банкротства на распознавание сложившейся ситуации с определением дистанции, которая отделяет предприятие от состояния банкротства. [6]

В последнее время для выявления природы вероятности появляются неклассические вероятности различных типов. В данной работе речь идет о нечетких множествах и нечеткой логике применительно к деятельности коммерческого банка.

Чем глубже исследуется деятельность банка, тем больше обнаруживается новых источников неопределенности. Декомпозиция исходной, обычно грубой и приблизительной, модели анализа сопряжена с растущим дефицитом количественных и качественных исходных данных. Сплошь и рядом мы сталкиваемся с неопределенностью, которая в принципе не может быть раскрыта однозначно и четко. Ряд параметров оказывается недоступным для точного измерения, и тогда в его оценке неизбежно появляется субъективный компонент, выражаемый нечеткими оценками типа "высокий", "низкий", "наиболее предпочтительный", "весьма ожидаемый", "скорее всего", "маловероятно", "не слишком" и т.д. Появляется то, что в науке описывается как лингвистическая переменная со своим терм-множеством значений, а связь количественного значения некоторого фактора с его качественным лингвистическим описанием задается так называемыми функциями m-принадлежности фактора нечеткому множеству. [6]

Кривая m строится на основании:

· данных объективных тестов для работников различных возрастных групп, с выявлением психофизиологических особенностей этих групп (контекст наблюдений такого рода есть контекст свидетельств Е);

· интуитивных представлений экспертов (контекст S).

Таким образом, функции принадлежности параметров нечетким множествам обладают теми же достоинствами в анализе, что и неклассические типы вероятностей, и вдобавок к этому они являются количественной мерой наличной информационной неопределенности в отношении анализируемых параметров, значение которых описывается в лингвистически-нечеткой форме.

4.5 V&M-метод финансового анализа деятельности банка

Рассмотрим комплексный показатель финансового анализа на основании результатов теории нечетких множеств. [6]

Алгоритм построения так называемого V&M-показателя следующая:

1. Полное множество состояний А банка разбивается на пять (в общем

случае пересекающихся) нечетких подмножеств вида:

А1 - нечеткое подмножество состояний "предельного неблагополучия (фактического банкротства)";

А2 - нечеткое подмножество состояний "неблагополучия";

А3 - нечеткое подмножество состояний "среднего качества";

А4 - нечеткое подмножество состояний "относительного благополучия";

А5 - нечеткое подмножество состояний "предельного благополучия".

То есть терм-множество лингвистической переменной "Состояние банка" состоит из пяти компонент. Каждому из подмножеств А1, …, А5 соответствуют свои функции принадлежности

m1(V&M) … m5(V&M),

где V&M - комплексный показатель финансового состояния положения банка, причем, чем выше V&M, тем "благополучнее" данное состояние.

2. Осуществляется выбор базовой системы показателей Хi и производится нечеткая классификация их значений.

Пусть D(Хi) - область определения параметра Хi, несчетное множество точек оси действительных чисел. Определим лингвистическую переменную "Уровень показателя Хi" с введением 5 нечетких подмножеств множества D(Хi):

В1 - нечеткое подмножество "очень низкий уровень показателя Хi",

В2 - нечеткое подмножество "низкий уровень показателя Хi",

В3 - нечеткое подмножество "средний уровень показателя Хi",

В4 - нечеткое подмножество "высокий уровень показателя Хi",

В5 - нечеткое подмножество "очень высокий уровень показателя Хi".

Задача описания подмножеств {В} - это задача формирования соответствующих функций принадлежности.

3. Построение функций принадлежности {m} нечетких подмножеств {А}.

Анализируя опыт различных квалификаций лингвистической переменной "Состояние", мы задаемся набором функций принадлежности {m}. Эти функции мы сформировали таким образом, что искомый комплексный показатель финансового состояния V&M по построению принимает значения от нуля до единицы.

4. Оценка значимостей показателей для комплексной оценки.

Каждому i-му показателю в отношении каждого k-го уровня состояния предприятия можно сопоставить оценку pik значимости данного показателя для распознавания данного уровня состояния предприятия. Например, ряд банков, анализируя кредитоспособность заемщика, присваивает большую значимость показателям финансовой устойчивости и ликвидности, и меньшую - показателям прибыльности и оборачиваемости. В то же время, этот критерий не может считаться приемлемым в отношении приватизированных предприятий, ранее находящихся в госсобственности. Обыкновением для таких предприятий является то, что значительный вес основных средств в структуре активов (здания, сооружения и т.д.) соседствует с низкой рентабельностью или даже убыточностью. То есть построение системы весов pik должно проводиться по каждому предприятию строго индивидуально.

Систему оценок значимостей {p} целесообразно пронормировать следующим образом:

k = 1,…,5.

Если система предпочтений одних показателей другим отсутствует, то показатели являются равнозначными, и pik = 1/N.

5. Построение показателя V&M.

Комплексный показатель V&M строится как двумерная свертка по совокупности показателей Хi с весами рi и по совокупности их качественных состояний с весами {l}.

6. Распознавание текущего состояния банка.

Правило для распознавания состояния предприятия имеет вид таблицы 1. Одновременно, в соответствии с результатом распознавания по таблице 1, оценивается степень риска банкротства.

Таблица 1. Правило распознавания финансового состояния предприятия.

Предложенная методика комплексной оценки финансового состояния предприятия, в действительности, воспроизводит мыслительные человеческие процессы, основанные на субъективных суждениях. Мы добиваемся, чтобы предложенная модель была адекватна не только реалиям объекта исследования, но и специфическим особенностям познающего субъекта, а также формально очерченным границам наличной информационной неопределенности. То, что мы знаем об объекте исследования, и то, как мы это знаем, - все это находит отражение в логико-математических формализмах, на которых основан метод. Мы не пытаемся строить сомнительные свертки на финансовых показателях, тем самым как бы складывая килограммы с километрами, а осуществляем свертку сопоставимых компонент принадлежности показателей к тем или иным нечетким классам и этим обеспечиваем корректность модели.

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

5.1 Задача формализации функционирования банка как системы управления

Успешное функционирование банка заключается в эффективном управлении ресурсами банка. Выделяют два уровня - уровень государства и уровень самого коммерческого банка. При этом на каждом из них используются как экономические, так и организационные методы. В особый класс выносят задачи принятия решений.

Во многих случаях задача принятия решений в общем виде математически может быть описана множеством допустимых выборов (альтернатив) и заданным на этом множестве отношением предпочтения, которое отражает интересы лица, принимающего решение (л.п.р.). Как правило, это отношение бинарное, т.е. позволяет сравнивать друг с другом лишь две альтернативы. Собственно задача принятия решений заключается в выборе допустимойальтернативы, которая лучше или не хуже всех остальных альтернатив в смысле заданного отношения предпочтения. [8]

Бинарное отношение предпочтения на множестве альтернатив может быть описано двумя способами: в виде подмножества декартова произведения множества альтернатив само на себя или в форме так называемой функции полезности. Функция полезности обычно имеет вид отображения множества альтернатив на числовую ось. Каждой альтернативе эта функция ставит в соответствие число (оценку альтернативы), причем так, что эквивалентным альтернативам соответствуют одинаковые числа (значения функции полезности), а из каждых двух неэквивалентных альтернатив лучшей приписывается большее число. [8]

Задачи принятия решений, в которых отношение предпочтения описано в форме функции полезности, называют задачами математического программирования. Рациональным решением в таких задачах является выбор допустимой альтернативы, на которой функция полезности принимает по возможности большее значение. [8]

Нечеткость в постановке задачи математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании функции полезности. Будем рассматривать задачи, в которых нечетко описано множество альтернатив и четко -- функция полезности Такие задачи называют ниже задачами нечеткого математического программирования (н.м.п.). [9]

Анализируя задачи н.м.п., будем опираться на следующий подход к определению решения задачи. Задача н.м.п. формулируется как задача выполнения нечетко определенной цели, причем решением задачи считается пересечение нечетких множеств цели и ограничений (допустимых альтернатив). [9]

5.2 Формулировка и определение решения задачи

Основным в данном подходе к решению задачи является то, что цели принятия решений и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Это позволяет определить решение задачи в относительно простой форме. [8]

Пусть X -- универсальное множество альтернатив, т. е. универсальная совокупность всевозможных выборов лица, принимающего решения (л. п.р.). Нечеткой целью в Х является нечеткое подмножество Х, которое будем обозначать G. Описывается нечеткая цель функцией принадлежности:

.

Допустим, X - числовая ось. Тогда нечеткой целью принятия решений может быть нечеткое множество типа "величина х должна быть примерно равна 5", "желательно, чтобы величина х была значительно больше 10" и т.п. Чем больше степень принадлежности альтернативы х нечеткому множеству цели , т.е. чем больше значение , тем больше степень достижения этой цели при выборе альтернативы х в качестве решения. [3]

Связывая данные формулировки с банковскими ресурсами, имеем следующее. Ресурсная база коммерческого банка - это собственный капитал и привлеченные средства. Каждый ресурс представляет собой средства, непосредственно принадлежащих банку или сформированных им в результате проведения активных и пассивных операций. Тогда множество X можно интерпретировать как набор ресурсов банка. Есть ряд ограничений в соответствии с инструкцией ЦБ РФ № 110-И "Об обязательных нормативах банков", которые будут рассмотрены в данной работе. Например, размер уставного капитала банка на 2009 год должен составлять не менее 173 124 500 руб., или размер резервного фонда должен определяться самими коммерческим банком, но не может составлять минее 15% величины уставного капитала. [9]

5.3 Подход Беллмана-Заде к решению задачи

Опишем математический аппарат, который применим в задаче управления банковскими ресурсами (задаче достижения нечеткой цели) в условиях нечетких ограничений. [3]

Общей является постановка задачи, в которой нечеткие цели и ограничения представляют собой подмножества различных универсальных множеств. Пусть, как и выше, X -- универсальное множество альтернатив, и пусть задано однозначное отображение , значения которого (элементы множества Y) можно понимать как реакции некоторой системы на входные воздействия или как некоторые оценки (эффекты) выборов соответствующих альтернатив. Например, эффект от выбора в большей степени в составе основного капитала средств фондов коммерческого банка и как это повлияет на возможность покрытия непредвиденных убытков. Нечеткая цель задается в виде нечеткого подмножества универсального множества реакций (оценок) Y, т.е. в виде функции .

Задача при этом сводится к прежней постановке (т.е. к случаю, когда цель - нечеткое подмножество Х, например, цель - максимизация уставного капитала) следующим приемом. [10]

Определим нечеткое множество альтернатив , обеспечивающих достижение заданной цели . Это множество представляет собой прообраз нечеткого множества при отображении , т.е.

, .

После этого исходная задача рассматривается как задача достижения нечеткой цели при заданных нечетких ограничениях.

Перейдем теперь к определению решения задачи достижения нечеткой цели. Решить задачу означает достигнуть цели и удовлетворить ограничениям, причем в данной нечеткой постановке следует говорить не просто о достижении цели, а о ее достижении с той или иной степенью, причем следует учитывать и степень выполнения ограничений. В подходе Беллмана-Заде оба этих фактора учитываются следующим образом. [3], [10]

Пусть, например, некоторая альтернатива x обеспечивает достижение цели (или соответствует цели) со степенью , удовлетворяет ограничениям (или является допустимой) со степенью . Тогда полагается, что степень принадлежности этой альтернативы решению задачи равна минимальному из этих чисел. Иными словами, альтернатива, допустимая со степенью, например, 0,3, с той же степенью принадлежит нечеткому решению, несмотря на то, что она обеспечивает достижение цели со степенью, равной, например, 0,8. [3]

Таким образом, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели называется пересечение нечетких множеств цели и ограничений, т.е. функция принадлежности решений имеет вид

.

При наличии нескольких целей и нескольких ограничений нечеткое решение описывается функцией принадлежности

.

Если различные цели и ограничения различаются по важности и заданы соответствующие коэффициенты относительной важности целей и ограничений , то функция принадлежности решения задачи определяется выражением

В отмеченном выше случае, когда задано отображение множества альтернатив X в множестве реакций или оценок Y, а нечеткая цель задана в множестве Y, понадобится и следующее эквивалентное приведенному выше определению нечеткого решения. [3], [10]

Пусть G и C - нечеткие множества цели (в Y) и ограничений (в Х).

Нечетким решением задачи достижения цели G при ограничениях С называется максимальное по отношению вложенности нечеткое множество D, обладающее свойствами:

(допустимость решения)

(достижение нечеткой цели), где - образ D при отображении .

Определенное таким образом решение можно рассматривать как нечетко сформулированную инструкцию, исполнение которой обеспечивает достижение нечетко поставленной цели.

Нечеткость полученного решения есть следствие нечеткости самой исходной задачи. При таком представлении решения остается неопределенность, связанная со способом исполнения подобной нечеткой инструкции, т.е. с тем, какую альтернативу выбрать. [3]

Один из наиболее распространенных в литературе способов состоит в выборе альтернативы, имеющей максимальную степень принадлежности нечеткому решению, т.е. альтернативы, реализующей

.

Такие альтернативы называют максимизирующими решениями. [3]

Рассматривая предложенную методику в связи с банковской деятельностью необходимо выделять временные промежутки, этапы выбора и действия альтернатив (например, в течение текущего года, в течение прошлых лет, за отчетный период, квартал и т.п.).

Поэтому далее опишем многоэтапные процессы принятия решений.

Постановка и анализ многоэтапной задачи принятия решений при нечетких условиях также описаны в работах Р.Беллмана и Л.Заде. Рассмотрим задачу управления динамической системы. [3], [10]

Пусть X - конечное множество возможных состояний динамической системы, U - конечное множество возможных значений управляющего параметра. Например, X - это необходимость покрытия расходов на страхование от возможных рисков за счет резервных средств, тогда U - размер уставного капитала банка. [9]

Состояния системы и значение управления в момент времени , будем обозначать соответственно.

Функционирование системы, т.е. ее переходы из состояния в состояние, описывается системой уравнений состояния

Страницы: 1, 2, 3